Exterior derivative(외적분)이란, differential form(미분 형식) 함수의 미분 개념에서 더 높은 차원으로 표현한 것이다. 즉, k-form(k-형식)의 differential form을 (k+1)-form의 differential form으로 만드는 것을 목표로 한다.

 k-form에 대한 자세한 내용은 아래 블로그 내용에서 다루어져 있으므로 참고하자. 

k-form(k형식) - [http://elecs.tistory.com/270]

 Exterior derivative를 정의하면 다음과 같다.

 Def) 0-form 형식의 함수 A가 있다고 하자. 이 함수는 실수 Rⁿ 에서 열린 집합이라 할 때, exterior derivative인 dA는 1-form으로 아래와 같이 나타낼 수 있다.

 간단한 예제를 통해  exterior derivative를 이해해보자.

 위 수식을 exterior derivative로 나타내면 다음과 같다.

 위 수식의 결과로 0-form에서 1-form의 값이 나타남을 확인할 수 있다.

 이번에는 1-form에서 2-form을 구해보도록 하자.

 위 수식을 exterior derivative로 나타내면 다음과 같다.

출저 : Steven H. Weintraub(2014), Differential Forms Theory and Practice, Academic Press, 11-12p

 Differential form에서 k-form(k-형식)이란, 쉽게 말해 우리가 흔히 표현하는 적분 공식인

에서 뒷부분 dx라 써 있는 delta의 갯수를 의미한다. 위의 경우 delta는 1개만 존재하므로 1-form이라 할 수 있다.

 간단한 예제로 k-form에 대해 이해해보도록 하자.

0-form

1-form

2-form

3-form

 이 중 가장 쉬운 방법이라면 당연히 1번입니다만 운행 횟수가 적어 다른 선택지도 고민해야 합니다. 자신의 여행 계획에 맞추기 위해 아래의 정보를 확인하시기 바랍니다.

타다노우미역(忠海駅) 열차시간표

http://www.jr-odekake.net/eki/timetable.php?id=0801503

미하라역(三原駅) 열차시간표

http://www.jr-odekake.net/eki/timetable.php?id=0800601

타다노우미역 - 다케하라역 - 히로시마 시내 버스 시간표

http://www.geiyo.co.jp/Unyu/kaguyaH300317.htm

타는곳 1번 승강장에 올라오면 히로행 꼬마열차가 승강장 한켠에서 기다리고 있습니다.

열차에 탑승하여 오쿠노지마로 이동하도록 합시다.

 종종 일본을 방문하게 될 때 마다 일본 전 지역에 위치한 포켓몬센터를 방문하는 것을 목표로 하였던 적이 있었습니다. 다음에는 어느 지점을 방문하게 될지 기대됩니다.

 Hodge *-operator(Hodge star operator, Hodge isomorphism)이란 linear map(선형사상)에서 중요한 요소중 하나로 exterior product(바깥적)을 기반으로 하는 연산아다. Hodge *-operator를 통해 나온 결과값은 Hodge dual(하지쌍대)를 이루게 된다. 정의를 통해 Hodge *-operator에 대해 알아보도록 하자.

Def) 실수 Rⁿ 범위에서 Hodge *-operator는 아래와 같이 k-form인 함수 φ을 (n-k)-form인 함수 φ^*로 만든다.

(1) 다음과 같은 집합이 주어졌다고 하자.

 만약 이 집합의 부분집합인

 가 있을때 위 집합의 complement인 집합은 다음과 같이 나타낸다.

 위 두 집합에 대해 각 집합에 대한 differential form을 구하면

 위의 differential form에 대해 Hodge *-operator를 구하면

 위 식의 두 differential form은 서로 hodge dual 관계를 갖는다.

(2) 만약 φ = A₁dx_I1 + ᠁ + A_mdx_Im이 k-form일 때,

 간단한 예제를 통해 Hodge *-operator에 대해 이해해보자.

ex1) 실수 R¹에서

 위의 1차원 실수 범위에서는 Hodge *-operator가 상당히 쉽게 유도됨을 알 수 있다.

ex2) 실수 R²에서

 위의 2차원 실수 범위에서도 Hodge *-operator가 유도됨을 확인할 수 있다. 여기서 눈여겨볼 만한 점은 dx와 dy의 Hodge *-operator의 결과가 서로 다르다는 것을 볼 수 있다. 앞에서 말했듯이 differential form은 exterior product를 바탕으로 이루어지기 때문에 위와 같이 값이 달라진다. 즉, Commutativity(교환법칙)이 성립되지 않는것이다.

 Exterior product에 대한 자세한 사항은 아래의 포스팅에서 자세히 다루다.

 http://elecs.tistory.com/261

출저 : Steven H. Weintraub(2014), Differential Forms Theory and Practice, Academic Press, 10-11p

 Isomorphism(동형사상)이란 서로 구조가 같은 두 Group 사이에 모든 구조를 보존하는 사상(map)이다. Isomorphism은 homomorphism(준동형사상)에서 조건 하나가 추가된 것이다. 정의를 통해 확인해보도록 하자.

Homomorphism의 정의에 대해 알아보기 - http://elecs.tistory.com/264

Def) 두 Group인 G와 H가 사상(map) φ : G → H일 때 이를 isomorphism이라 하고 G와 H 각각을 isomorphic(같은 모양)일 때 G와 H의 관계는 아래의 조건을 만족할 때 G≅H이라 한다.(≅는 합동을 의미한다.)

(1)φ는 homomorphism이다. ( i.e., φ(xy) = φ(x)φ(y) )

(2)φ는 전단사(bijection) 속성을 가지고 있다.

위에 주어진 2개의 조건을 만족한다면 해당 함수는 Isomorphism에 해당한다고 할 수 있다.

 두 Group인 G와 H가 bijection 속성을 가질 경우 위에서 보는 바와 같이 G에서 H로 mapping될 때 H의 모든 값들과 1대 1로 매칭이 되며(injection) {φ : G → H}의 조건에서 G가 H의 모든 element에 mapping이 될 경우(surjection) 이는 bijection 속성을 갖고 있다고 할 수 있다.

 다음으로 간단한 예제를 통해 isomorphism에 대해 자세히 이해해보도록 해보자.

ex) Group G가 양의 실수 의 범위

    Group H가 실수 범위라 하였을 때,

 f : G → H에서 f를 log함수라 가정하자.

 위 두 공식을 통해 log함수는 homomorphism과 bijection의 조건을 만족함을 알 수 있다.

Reference : David S. Dummit, Richard M. Foote(2003), Abstract Algebra, WILEY