Isomorphism(동형사상)

 Isomorphism(동형사상)이란 서로 구조가 같은 두 Group 사이에 모든 구조를 보존하는 사상(map)이다. Isomorphism은 homomorphism(준동형사상)에서 조건 하나가 추가된 것이다. 정의를 통해 확인해보도록 하자.

Homomorphism의 정의에 대해 알아보기 - http://elecs.tistory.com/264

Def) 두 Group인 G와 H가 사상(map) φ : G → H일 때 이를 isomorphism이라 하고 G와 H 각각을 isomorphic(같은 모양)일 때 G와 H의 관계는 아래의 조건을 만족할 때 G≅H이라 한다.(≅는 합동을 의미한다.)

(1)φ는 homomorphism이다. ( i.e., φ(xy) = φ(x)φ(y) )

(2)φ는 전단사(bijection) 속성을 가지고 있다.

위에 주어진 2개의 조건을 만족한다면 해당 함수는 Isomorphism에 해당한다고 할 수 있다.

 두 Group인 G와 H가 bijection 속성을 가질 경우 위에서 보는 바와 같이 G에서 H로 mapping될 때 H의 모든 값들과 1대 1로 매칭이 되며(injection) {φ : G → H}의 조건에서 G가 H의 모든 element에 mapping이 될 경우(surjection) 이는 bijection 속성을 갖고 있다고 할 수 있다.

 다음으로 간단한 예제를 통해 isomorphism에 대해 자세히 이해해보도록 해보자.

ex) Group G가 양의 실수 의 범위

    Group H가 실수 범위라 하였을 때,

 f : G → H에서 f를 log함수라 가정하자.

 위 두 공식을 통해 log함수는 homomorphism과 bijection의 조건을 만족함을 알 수 있다.

Reference : David S. Dummit, Richard M. Foote(2003), Abstract Algebra, WILEY