Hodge *-operator(하지연산자)

 Hodge *-operator(Hodge star operator, Hodge isomorphism)이란 linear map(선형사상)에서 중요한 요소중 하나로 exterior product(바깥적)을 기반으로 하는 연산아다. Hodge *-operator를 통해 나온 결과값은 Hodge dual(하지쌍대)를 이루게 된다. 정의를 통해 Hodge *-operator에 대해 알아보도록 하자.

Def) 실수 Rⁿ 범위에서 Hodge *-operator는 아래와 같이 k-form인 함수 φ을 (n-k)-form인 함수 φ^*로 만든다.

(1) 다음과 같은 집합이 주어졌다고 하자.

 만약 이 집합의 부분집합인

 가 있을때 위 집합의 complement인 집합은 다음과 같이 나타낸다.

 위 두 집합에 대해 각 집합에 대한 differential form을 구하면

 위의 differential form에 대해 Hodge *-operator를 구하면

 위 식의 두 differential form은 서로 hodge dual 관계를 갖는다.

(2) 만약 φ = A₁dx_I1 + ᠁ + A_mdx_Im이 k-form일 때,

 간단한 예제를 통해 Hodge *-operator에 대해 이해해보자.

ex1) 실수 R¹에서

       

 위의 1차원 실수 범위에서는 Hodge *-operator가 상당히 쉽게 유도됨을 알 수 있다.

ex2) 실수 R²에서

 위의 2차원 실수 범위에서도 Hodge *-operator가 유도됨을 확인할 수 있다. 여기서 눈여겨볼 만한 점은 dx와 dy의 Hodge *-operator의 결과가 서로 다르다는 것을 볼 수 있다. 앞에서 말했듯이 differential form은 exterior product를 바탕으로 이루어지기 때문에 위와 같이 값이 달라진다. 즉, Commutativity(교환법칙)이 성립되지 않는것이다.

 Exterior product에 대한 자세한 사항은 아래의 포스팅에서 자세히 다루다.

 http://elecs.tistory.com/261

출저 : Steven H. Weintraub(2014), Differential Forms Theory and Practice, Academic Press, 10-11p