Homomorphism(준동형 사상)이란 두 개의 Group 사이의 모든 연산과 관계를 보존하는 사상(map)을 의미한다. Homomorphism의 정의에 대해 살펴보도록 하자.

Def) 두 Group인 G와 H가 (G,☆), (H,◇)라고 하였을 때, map φ : G → H일 때

φ(x☆y) = φ(x)◇φ(y), for all x,y ∈ G

를 만족하면 이를 homomorphism이라 한다.

 예제를 통해 위 정의를 중명해보도록 하자.

ex)  Group G가 +에서 실수이고 abelian(가환군)이며 identity(항등원)가 0

      Group H가 ×에서 양의 실수이고 abelian(가환군)이며 identity(항등원)가 1 일때,

      f : G → H 이고 x → e^x일때

 위 예제를 통하여 homomorphism의 정의에 대해 어느정도 이해할 수 있을 것이다.

Reference : David S. Dummit, Richard M. Foote(2003), Abstract Algebra, WILEY

 Cycle(순환)이란 연속된 정수의 집합으로 S_n으로 나타낸다. 만약 집합 S_n이

일 경우 집합 S_n은 다음과 같은 순서로 연결된다.

위와 같이 Cycle은 마지막 component가 다시 첫 번째 component로 이어지면서 순환을 이루게 된다. 이를 다음과 같이 좀 더 쉽게 나타낼 수 있다.

 첫 번째 row는 순서를 나타낸 것이며 두 번째 row는 연결되는 다음 component를 나타낸 것이다.

 다음으로 σ ∈ S_n 일 때 만약 σ의 action이 다음과 같이 나타났다고 하자.

 위 결과는 총 k개의 Cycle을 생성하였고 각 Cycle이 어떻게 연결되어 있는지를 도식적으로 확인할 수 있다. 

 x ∈ { 1, 2, 3, ... ,n }에서 x의 값이 위의 가장 오른쪽에 있는 괄호 속에 값이 존재하지 않을 때(즉 위의 action에서 a_m 의 괄호 속으로 bold로 강조된 부분) c(x)는 x가 포함되어 있는 특정 괄호 속에서 바로 오른쪽에 위치한 정수값을 의미한다. 예를 들어 σ가 다음과 같이 주어졌을 때

 만약 σ(1)의 값을 구할 경우 위에서 가장 오른쪽에 있는 괄호의 component는 2와 4뿐이다. 그러므로 σ(1) = 3이다.

 x ∈ { 1, 2, 3, ... ,n }에서 x의 값이 위의 가장 오른쪽에 있는 괄호 속에 값이 존재하게 될 경우 σ(x)는 바로 오른쪽에 있는 정수 y를 확인한 후 해당 정수를 왼쪽의 괄호들에서 찾은 후 정수 y 값의 바로 오른쪽에 있는 정수값이다. 예를 들어

 만약 σ(1)의 값을 구할 경우 오른쪽에 있는 괄호에서 1의 바로 오른쪽에 있는 값 4를 선택한 후 왼쪽에 위치한 괄호에서 4를 찾은 후 4의 바로 오른쪽에 위치한 5가 σ(1)의 값이다. 즉 σ(1) = 5임을 알 수 있다. 이러한 방식으로 σ(x)의 값을 찾은 후 k개의 Cycle에서 중복되는 정수를 최대한으로 줄인 cycle을 찾는 과정을 cycle decomposition(순환마디분해)라고 한다.

 간단한 예제를 통해 윈리를 이해하여보자. n = 13이고.  σ ∈ S_n일 때 각 σ(x)의 값들이 다음과 같다고 가정하자.

 σ(1) = 12, σ(2) = 13, σ(3) = 3, σ(4) = 1, σ(5) = 11, σ(6) = 9, σ(7) = 5,

 σ(8) = 10, σ(9) = 6, σ(10) = 4, σ(11) = 7, σ(12) = 8,σ(13) = 2.

 이를 2개열의 행렬로 표현하면 다음과 같다.

 이를  Cycle S_n으로 나타내면 다음과 같다.

 총 5개의 cycle이 만들어졌으며 각각 5-cycle, 2-cycle, 1-cycle, 3-cycle, 2-cycle이다. 이 때 1-cycle은 1로 나타내어 생략할 수 있다. 따라서 cycle decomposition인 σ는

 Cycle decomposition인 σ가 σ ∈ S_n 를 만족할 때, σ^-1를 구할 수 있으며 이 때 σ^-1는 σ의 괄호 내부의 component의 순서를 반대로 하면 된다.

Reference : David S. Dummit, Richard M. Foote(2003), Abstract Algebra, WILEY

 Covector(여벡터)란 dual vector, 1-form 또는 Linear Form(일차 형식)이라고 칭하며 vector space에서 scalar field로 선형 사상(linear map)을 하는 방법을 나타내는 것이다.

 다시 말해 covector의 결과물은 scalar가 된다는 것을 뜻한다.

 covector인 a를 정의하였을 때 vector space인 V는 scalar가 되므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

a : V -> 

 이를 간단한 행렬로 나타내면 다음과 같이 표현할 수 있다.

 이와 같이 covector는 두 개의 vector의 연산으로 scalar 값이 도출됨을 확인할 수 있다.

 좀 더 자세한 이해를 위해 covector를 그림으로 설명해보도록 하자.

 위의 그림에서 covector는 특정 영역의 평면의 값을 나타내며 붉은 화살표는 covector의 방향을 나타낸다. 이 때 방향에 따라 covector의 값은 증가한다고 볼 수 있다. 간단한 예제를 그림을 통해 이해해보도록 하자.

 위 그림에서는 covector인 α와 β가 주어져 있고 두 covector의 합인 σ를 나타낸 것이다. α에서 벡터 u와 v는 서로 다른 방향을 갖고 있으나 covector인 α의 방향으로는 같은 값을 갖고 있다. 그러나 벡터 w의 경우 α와 직교하는 방향을 향하기 때문에 α(w) = 0 이다.

 반면, covector인 β의 경우 벡터 w와 같은 방향을 향하지만 u와 v는 수직으로 지나가고 있으므로 u와 v의 covector값은 0이 된다.

 covector σ의 경우 α와 β의 성분을 모두 갖고 있으며, 각 α와 β의 성분별 값을 갖고 있으므로 σ=α+β가 성립된다.

츨저 : https://en.wikipedia.org/wiki/One-form

 Bivector(이중벡터)란 스칼라와 벡터의 개념에서 확장된 개념으로, 두 개의 벡터를 통하여 방향성을 가지고 있는 평면을 만들게 된다.

 추상적으로는 평면이 방향성을 갖고 있는 것이 잘 떠오르지 않을 것이다. 간단한 그림을 통해 설명하도록 해보자.

 우리들이 일반적으로 도형에 대해 공부할 때 점이 모여 선이 되고, 선이 모여 면이 된다는 것을 직관적으로 알 수 있다. 마찬가지로 bivector 또한 이러한 관점에서 이해하면 좀 더 간단하게 이해할 수 있다.

Scalar    - 방향성을 갖지 않는 특정값

Vector    - 특정한 1개의 방향성을 갖고 있는 값

Bivector    - 특정한 2개의 방향성을 갖고 있는 값

 다음으로 Bivector의 값을 나타내는 등식은 exterior product(바깥적)으로 나타내면 다음과 같다.

a ∧ b

 등호는 마치 논리회로의 and와 유사한 기호를 사용하고 있다. 앞에서 설명하였듯이 bivector는 방향성을 가지고 있다고 하였는데 이를 그림으로 나타내면 다음과 같다.

 위의 그림에서 보이는 바와 같이 벡터 a와 b의 순서가 바뀔 경우 bivector의 방향이 바뀌는 것을 확인할 수 있다. 이를 보았을 때 exterior product는 교환법칙이 성립되지 않는다는 것을 확인할 수 있다.

 다음으로 Bivector로 나타낼 수 있는 Exterior product에 대해 간단하게 나타내보자

 a와 b의 위치를 바꾸면 다음과 같이 표현된다.

 위의 두 결과를 보았을 때

 a ∧ b = - (b ∧ a)

 가 됨을 확인할 수 있다.

출저 : https://en.wikipedia.org/wiki/Bivector

  외대수(Exterior algebra)는 exterior product(바깥적^[각주:1], 쐐기곱)을 만들어내는 algebraic system(대수계)라 할 수 있다.

 외적(Outer product)의 결과값이 vector라면 바깥적(Exterior product)의 결과값은 bivector(이중벡터)가 된다. 아래의 그림은 Outer product( a × b )와 Exterior product( a ∧ b )의 결과를 이미지로 나타낸 것이다.

 Outer product의 결과는 vector인 a와 b 두 벡터에 모두 직교하는 방향의 vector가 생성된다. 반면 Exterior Product는 a와 b가 평면을 만드는 공간에서 반시계방향의 방향성을 갖는 bivector가 생성된다. 쉽게 말해서 방향성을 가지고 있는 평면이 된다는 의미로 받아들이면 될 것이다.

출저 : https://en.wikipedia.org/wiki/Exterior_algebra