Borel set(보렐 집합)에 대해 자세히 알기 위해서는 σ-algebra(시그마 대수)에 대한 개념을 정확히 알아야 할 필요가 있습니다. σ-algebra(시그마 대수)에 대한 내용은 아래 글을 참고해 주시길 바랍니다.

http://elecs.tistory.com/253

 Open set을 포함한 실수 R의 부분집합의 모든 σ-algebra(시그마 대수)의 교집합을 Borel σ-algebra라 합니다. 그리고 이러한 Borel σ-algebra를 모은 집합을 Borel set(보렐 집합)이라 합니다. Borel σ-algebra는 전체 Open set을 포함하는 모든 σ-algebra를 포함하고 있습니다. 즉 Boral set은 가산집합(measurable)이라 할 수 있습니다.

Theorem. The collection M of measurable sets is a σ-algebra that contains the σ-algebra B of Borel sets. Each interval, each open set, each closed set, each set, and each set is measurable

이때 는 Open sets의 countable collection의 교집합이고, 는 Closed sets의 countable collection의 합집합이다.

참고 문헌 :  H.L. Royden, 2010, 『Real Analysis』, 4th edition.

 σ-algebra(시그마 대수 또는 σ-field)는 결과에 대한 부분적인 지식 상태의 수학적 모델입니다.

 확률공간(Ω,Σ,P)가 있을 때 집합 Ω를 "확률 실험"의 가능한 결과의 집합아라고 할 수 있습니다. 수학적으로 Ω를 하나의 집합으로, ω를 원소로서 이를 "sample space"라 합니다.

 예를 들어 Σ가 σ-algebra(시그마 대수)이고, A∈Ω일 때 ω∈A인지 아닌지에 상관없이 A∈Σ 라고 할 수 있습니다.

 집합족 F가 아래의 조건을 만족할 경우 반환(semiring)이라 합니다.

 •Φ∈F.(Φ는 공집합)

 •If A, B∈F, then A ∩ B∈F.

 •If A, B∈F, then there exists a collection of sets , such that .

 (A＼B all elements of A not in B)

 집합족 F가 아래의 조건을 만족할 경우 대수(algebra)이라 합니다.

 •Φ∈F.

 •If  , then  (F is closed under complementation).

 •If , then  (F is closed under finite unions).

 σ-algebra(시그마 대수) F가 아래의 조건과 같을 경우 Ω의 부분집합 ω의 집합이라 합니다.

 •Φ∈F.

 • If , then 

 • If , then .

 위의 조건을 보았을 때 집합 E={{Φ},{a},{b},{c},{a,,b},{b,c},{a,c},{a,b,c}}는 대수(algebra)이면서  σ-algebra(시그마 대수)라 할 수 있겠습니다.

  σ-algebra(시그마 대수)는 대수의 부분집합으로서 모든  σ-algebra(시그마 대수)는 대수라 할 수 있으나 그 반대는 성립하지 않습니다.

 σ-algebra(시그마 대수)는 무한번이 아닌 가산번의 합집합과 교집합에서 성립한다. 즉 σ-algebra(시그마 대수)는 유한번의 합집합과 교집합에서 닫혀있음(closed under finite unions)을 알 수 있다.

참고자료 : http://hanmaths.tistory.com/36