[컴퓨터비전]이미지 변환시 DoF(Degrees of Freedom)에 대한 고찰

 영상처리와 컴퓨터비전 분야에서 가장 중요한 요소로 Matrix 변환을 기반으로 하는 선형대수(Linear Algebra)가 있습니다. 특히 화면에 나타나는 이미지를 변환할 때 (Geometric Transformations를 하기 위해 사용되는 행렬), DoF라는 개념이 언급됩니다. 본 포스팅에서는 이 DoF에 대해 이야기해 보려 합니다.

-DoF(Degrees of Freedom)이란?

 DoF(Degrees of Freedom), 우리말로 '자유도'라 일컫는 요소로 이미지가 변환이 될 때 최소한으로 필요로 하는 독립변수의 수라고 정의할 수 있습니다. 이에 대해 각 Geometric Transformations들을 통해 알아보도록 하겠습니다.

-Translation

 이미지 변환중 가장 단순하다고 할 수 있는 변환 중 하나입니다. 이를 Matrix로 나타내면 다음과 같습니다.

위의 식에서 보이는 바와 같이 총 2개의 변수에 의해 이미지가 변환되고 있는 것을 알 수 있습니다. 각 변수는 이미지의 x축과 y축을 이동하는 식으로서 이는 Translation의 DoF가 2임을 알 수 있습니다.

 또한 Translation의 결과물은 원본 이미지에서 큰 변화가 일어나지 않습니다.

-Rigid(Euclidean)

위에서 보았던 Translation을 수행한 후 이미지를 일정 각도로 회전시킨 결과입니다. 이를 Matrix로 나타내면 다음과 같습니다.

위의 식에서 보는 바와 같이 x축으로의 이동, y축으로의 이동, 회전각도 Θ로 DoF는 3임을 알 수 있습니다.

 위 Rigid의 최종 결과물은 원본 이미지의 높이 및 너비와 같은 길이가 보존되는 것을 알 수 있습니다.

-Similiary

위의 Rigid Transform에서 결과물의 사진 크기가 변하였음을 확인할 수 있습니다. 이를 Matrix로 나타내면 다음과 같습니다.

 위의 식에서 보는 바와 같이 x축으로의 이동, y축으로의 이동, 회전각Θ, 크기변수s 로 DoF는 4임을 알 수 있습니다.

 위 Similary의 최종 결과물은 원본 이미지의 직각 부분이 유지되는 것을 알 수 있습니다.

-Affine

원본 이미지에 Affine Matrix가 적용되면 이미지가 위에서 보는 바와 같이 일그러진 모습을 하고 있는 것을 보실 수 있습니다. 이를 Matrix로 나타내면 다음과 같습니다.

Affine Matrix의 DoF는 6임을 확인하실 수 있습니다.

 위 Affine의 최종 결과물은 원본 이미지의 두 변의 평행이 보존됨을 확인하실 수 있습니다.

-Projective

 원본이미지에 Projectiive가 젹용되면 마치 이미지가 정사영에 투영된 듯이 이미지를 기울여서 보는 듯한 느낌이 들 겁니다. 이를 Matirx로 나타내면 다음과 같습니다.

Projective Matrix의 DoF는 8임을 알 수 있습니다.

 위 Projective의 최종 결과물은 원본 이미지의 특정 두 변의 평행이 유지되는 것을 알 수 있습니다.