직선화 되어 쭉쭉 뻗어나아가는 철도처럼 최근 지어지는 국도 또한 고속도로 못지 않게 시원시원하게 달릴 수 있게 설계되고 있습니다.

 그런데 이러한 국도 위에 기차가 지나가는 곳이 있습니다! 장항선 무궁화호를 타고 가던 도중 기차가 4차선 도로를 뚫고 지나가는 광경을 보았던 기억이 있어 그 곳을 직접 찾아가 보았습니다.

 해당 건널목은 21번 국도에 위치해 있으며 대천역과 웅천역 사이에 있는 옥서리건널목입니다.

 이 이색적인 광경도 내년 1월 5일이면 장항선 철길 이설과 함께 사라집니다. 잠시동안이었지만 장래에는 자동차들이 멈춤 없이 이 도로를 달릴 것입니다. 비록 기차는 이 건널목에서 멈추지만 새로 이설될 도로에서 힘차게 달릴 것입니다.

변해가는 것들도 변하지 않는 것도
매번 싫증 내는 내가

이제서야 알게 된 지금의 이 순간을
널 위해 약속해볼게

- 애니메이션 이야기 시리즈, "플라티나디스코" 가사中

 지난 2월부터 급속도로 전파되었던 신종 코로나바이러스감염증-19로 인해 온세상이 마비되어 버렸습니다. 그러나 이러한 상황에서도 마스크를 쓰며 꿋꿋이 견뎌왔던 이번 2020년은 여러 의미에서 참으로 고달팠던 한 해가 되지 않았나 싶습니다. 이러한 상황속에서도 간간히 들려오는 소식들을 전해들을 때마다 그래도 세상은 돌아가는구나 싶은 생각을 해보기도 합니다.

 이번 포스팅에서는 지난번에 안동역에 다녀온 다음 방문하였던 풍기역에 대한 내용을 담아보았습니다.

 머지않은 미래에 이 자리에서 KTX가 지나는 광경을 본다면 과연 어떤 생각을 하게 될까요? 하루하루 달라지는 모습들을 사진에 담기 위해 언젠가는 또 한 번 이 곳을 찾아와 보고 싶습니다!

첫눈이 내리는 날 안동역 앞에서
만나자고 약속한 사람

새벽부터 오는 눈이
무릎까지 덮는데

안 오는 건지 못 오는 건지
대답 없는 사람아

기다리는 내 마음만 녹고 녹는다
밤이 깊은 안동역에서
-진성, "안동역에서" 가사中

 아직 날이 밝지 않은 겨울 아침 청량리역을 출발한 무궁화호 열차는 점심이 될 무렵 안동역에 도착합니다. 영주역까지 객차를 끌고 오던 전기기관차를 안동역까지 달리기 위해 디젤기관차로 갈아끼우는 꽤나 걸려서 잠시 열차에서 내려 매점에서 요깃거리를 구하던 기억이 여럼풋이 나는군요.

 오랫동안 한 자리에서 손님들을 맞이하던 안동역이 KTX 개통을 준비하며 새로운 곳으로 이사하게 됩니다. 이사가게 될 바로 옆에는 이미 버스터미널이 자리잡아 여행객 입장에서 좀 더 다양한 지역을 오고갈 수 있게 되어 편리해질 것으로 기대됩니다. 비록 역에서 내리자마자 시내를 돌아다니던 지금보다는 시내를 돌아다니기가 힘들어졌지만 말이지요.

 위의 지도에서 보시다시피 현재의 안동역은 안동 시내에 위치해 있어 접근성이 매우 뛰어납니다. 또한 청량리발 무궁화호의 종착역 기능을 하여 역 부지도 상당히 큰 편이지요. 이사를 가게 되면 종착역으로서의 역할도 은퇴하게 될 예정입니다.

 이제 역에서 10분 거리에 위치한 법흥사지 칠층석탑을 보기 위해 걸음을 옮깁니다.

 위 지도에서 보면 알 수 있듯이 법흥사지 칠층전탑은 중앙선 철길과 바싹 닿아있는 걸 볼 수 있습니다.

 안동역을 떠나기 전 인근 식당에서 점심을 해결하였습니다.

 새로운 안동역은 안동터미널 옆에서 개업을 준비하고 있습니다. 앞으로 KTX가 개통되면 청량리에서 안동으로 오는 시간도 더욱 줄어들 것으로 보입니다. 어떻게 보면 지금보다 더 많은 사람들이 안동을 찾아올 수 있겠지요?

 다음 포스팅에서는 새로운 승강장을 만들고 있는 풍기역에 대해 다루고자 합니다. 과연 풍기역에서는 어떠한 변화가 기다리고 있을까요?

 
어느덧 2020년의 가을이 찾아왔습니다. 갑작스러운 추위에 가을이 찾아온 줄도 모르다가 금방 겨울이 오는 듯한 느낌에 시간이 순식간에 지나간 듯 아쉬운 생각이 감돕니다.
무심하게 흐르는 시간 만큼 사라져가는 것들도 하나 둘 생겨날 때 마다 "사라지기 전에 꼭 가볼걸" 이라는 후회가 막삼하곤 했던 기억이 있습니다. 이제 2021년이면 이설될 예정인 구 군산선(현 장항선 대야~익산 구간)의 모습을 담아보고자 하였던 목표를 이루기 위해 대야역을 찾아가 보았습니다.

  대야역을 찾아가기 위해 군산 시내에서 대야공용버스터미널까지 시내버스를 타고 이동합니다.

  군산역 꼬마열차가 사라진지 13년이 지나 이제는 그 꼬마열차가 다니던 길도 새 선로로 이설될 예정입니다. 이 풍경이 사라지기 전 한 번 더 찾아와 사진으로 남겨볼까 하는 아쉬움이 남는 하루였습니다.

 리눅스 혹은 임베디드 시스템과 통신할 때 주로 Putty를 사용했던 기억이 있습니다. 원격 접속이 설정이 매우 간단해서 SSH 접속을 하기 위해 자주 사용해왔었습니다.

 다만 Putty는 CLI 커맨드 기반의 작업을 수행할 때는 쓸만하지만 요즘같이 GUI 그래픽 기반의 화면을 사용하기 위해서는 Xming과 같은 별도의 프로그램을 설치해서 X11 이미지를 사용할 수 있습니다.

 그런데 이번에 소개해드릴 MobaXterm의 경우 터미널과 X11 서버를 하나의 프로그램에서 지원해줘서 이전처럼 X11 전용 프로그램을 별도로 설치하지 않고도 곧바로 GUI 기반 프로그램을 실행할 수 있었습니다.

 MobaXterm에서 터미널에 명령어를 수행하면 곧바로 GUI 기반 프로그램이 동작하는 것을 보면 상당히 편하다는 것을 알 수 있습니다. 다만, MobaXterm의 초기 설정대로 전체화면으로 돌아가는 프로그램을 수행하게 되었을 때 화면이 갑자기 사라져 버리는 모습을 볼 수 있습니다.

 분명 프로그램은 실행되고 있으나 MobaXterm의 초기 설정 상태에서는 X11이 Multiwindow 모드로 동작하고 있을 때 이러한 문제가 나타나는 것으로 보입니다. 이를 해결하기 위해 MobaXterm에 X11 관련 설정을 수정해줘야 합니다.

MobaXterm에서 'Settings' 버튼을 클릭합니다.

 'X11' 탭을 클릭한 후 'X11 server display mode' 부분에서 초기 설정이 "Multiwindow mode"로 되어있는 것을 보실 수 있습니다. 여기서 'Windowed mode'를 선택해줍니다.

 X11 설정 변경시 X11 서버를 다시 실행하게 됩니다. '예(Y)' 버튼을 클릭하신 후 잠시 기다리시면 다음과 같이 검은 창이 하나 나타나는 것을 확인하실 수 있습니다.

 이제 이 화면에서 UI 관련 프로그램들이 모두 동작하는 것을 확인할 수 있습니다.

 이제 전체화면으로 동작하는 프로그래밍을 실행하면 아래와 같이 화면이 바로 사라지지 않고 사용할 수 있게 되는 것을 확인하실 수 있습니다.

 작년 12월 영일만항역을 다녀왔었을 때 바로 옆에 있던 용한1리 해수욕장의 아름다운 바다 풍경이 생각나여 이번 2020년 9월 15일 새로 개통된 울산신항역에 다녀왔습니다. 이번에 울산신항역을 다녀오면서 앞으로 여행 계획을 하고자 할 때엔 사전조사의 필요성을 절실히 깨닫게 되었습니다.

 머지않은 미래에 많은 화물들이 오고가는 울산신항역의 모습을 기대해봅니다.

 게임이론의 관점에서 여분기여도(Marginal Contribution)은 다음과 같이 정의합니다.

 플레이어를 맴버로 하는 그룹의 가치에 플레이어가 없는 그룹의 가치를 뺀 다음 플레이어가 혼자 일하는 것에 의해 창출되는 가치를 뺀 값

 이를 섀플리값(Shapley Value)의 관점에서는 다음과 같이 표현됩니다.

 플레이어 A가 플레이어 B와 연합하여 A와 B의 총 보상이 5라고 하였을 때(즉, \(v(A,B)=5\))
 만약 B 혼자서 일을 하였을 때 B의 보상이 2라 한다면\(v(B)=2\), A의 이 연합 {A,B}에 대한 여분기여도는 다음과 같이 계산된다.
$$A의 {A,B}에 대한 기여 = v(A,B)-v(B)=5-2=3$$

 체르노프 유계(Chernoff bound)는 마르코프 부등식(Markov's Inequality)과 체비쇼프 부등식(Chebyshyov's Inequality)과 같이 확률분포의 평균만 주어진 경우 또는 평균값과 분산값만 주어졌을때 확률의 상한(Upperbound)을 구할수 있게 하는 것을 목표로 합니다. 다시 말해, 평균이 특정 구간 내에 포함될 확률에 대한 정보를 제공하는 것을 목표로 합니다.

 먼저 정의를 보인 후 간단한 증명을 한 다음 예제를 통해 체르노프 유계를 이해해보도록 합시다.

정의

\(X\)가 \(1\leq i\leq n\) 구간에서 \(X_i\in\{0,1\}\)이고 \(P(X_i=1)=p_i\)일 때 \(E[X_i]=p_i\)라고 합시다.

\(X\)가 독립 랜덤변수, 즉 \(X=\sum^n_{i=1}X_i\)일 때 \(\mu\)는 \(X\)의 평균이라 하였을때

$$When\;\delta>0\;\begin{cases}P(X>(1+\delta)\mu) <(\frac{e^\delta}{(1+\delta)^{(1+\delta)}})^{\mu}\\P(X<(1-\delta)\mu) < (\frac{e^{-\delta}}{(1-\delta)^{(1-\delta)}})^\mu\end{cases}$$

 이를 그림으로 나타내면 다음과 같습니다.

 위 그래프를 보면 아시듯이 체르노프 유계는 평균을 중심으로 하여 \(\delta\)만큼 떨어진 구간에서부터 끝부분 까지의 꼬리 분포(Tail distribution)확률을 나타낸 것입니다. 이를 통해 평균을 기준으로 확률의 상한 및 하한을 알 수 있습니다. 

 지금부터는 체르노프 유계를 증명하고자 합니다. 증명에 어려움을 느끼시는 분이라면 증명 부분을 건너뛰고 응용 사례를 먼저 보고 오시는 것을 추천 드립니다.

증명

 먼저 마르코프 부등식(Marcov's Inequality)에 대한 이해가 필요합니다. 여기서는 체르노프 유계를 이해하기 위한 중요한 부분만을 보여드리고자 하오니 마르코프 부등식에 대해 좀 더 자세하게 알아보고자 하시는 분은 아래의 링크를 통해 확인해주시길 바랍니다.

m.blog.naver.com/PostView.nhn?blogId=mykepzzang&logNo=220838855204

 마르코프 부등식에서 랜덤 변수 X가 주어졌을 때

$$For\:any\:random\:variable\:X\geq0$$

$$P(X>\lambda)<\frac{E[X]}{\lambda}$$

$$P(f(X)>f(\lambda))<\frac{E[f(X)]}{f(\lambda)}$$

만약 \(f\)가 감소하지 않는 함수일 때 다음과 같은 공식이 성립됩니다.

$$P(X>\lambda)=P(f(X)>f(\lambda))<\frac{E[f(X)]}{f(\lambda)}$$

 다음으로 적률생성함수(Moment Generating Function)을 통해 체르노프 유계를 이해해보도록 하겠습니다. 여기서는 체르노프 유계를 증명하기 위한 방법만 소개드리고자 하오니 적률생성함수에 대해 자세히 알고 싶으신 분은 아래의 자료를 참조해주시기 바랍니다.

m.blog.naver.com/mykepzzang/220846464280

 적률생성함수를 통해 상한값을 구할 때 다음과 같은 식을 유도할 수 있습니다. 만약 확률변수 X가 베르누이 분포라 가정하였을 때 다음과 같은 식을 유도할 수 있습니다.

$$\begin{split}
E[e^{tX}]&= E[e^{t\sum X_{i}}] \\
&=\sum^n_{x=0}e^{tx}\left(\begin{array}{c}n\\ x\end{array}\right)p^x(1-p)^{n-x}\\
&=\sum^n_{x=0}\left(\begin{array}{c}n\\x\end{array}\right)(pe^t)^x(1-p)^{n-x}\\
&\leq\prod_ie^{p_i(e^t-1)}\\
&=e^{\sum_ip_i(e^t-1)}\\
&=e^{(e^t-1)\mu}
\end{split}$$

 ※증명

 이제 본격적으로 체르노프 유계를 증명해보도록 하겠습니다. 위에서 보여드렸던 마르코프 부등식에 \(\lambda\)를 \((1+\delta)\mu\)로 대입하면 다음과 같은 식이 구해집니다.

$$\begin{split}
P(X>(1+\delta)\mu)&=P(e^{tX}>e^{t(1+\delta)\mu})\\
&\leq\frac{E[e^{tX}]}{e^{t(1+\delta)\mu}}\\
&\leq\frac{e^{(e^t-1)\mu}}{e^{t(1+\delta)\mu}}
\end{split}$$

 위의 식을 최소화시키기 위해 t에 다음과 같은 값을 대입합니다.

$$t=ln(1+\delta)$$

이를 식에 넣어 정리하면 다음과 같습니다.

$$\begin{split}
P(X>(1+\delta)\mu)
&\leq\frac{e^{(e^{ln(1+\delta)}-1)\mu}}{e^{(1+\delta)ln(1+\delta)\mu}}\\
&=\left(\frac{e^{(e^{ln(1+\delta)}-1)}}{e^{(1+\delta)ln(1+\delta)}}\right)^\mu\\
&=\left(\frac{e^\delta}{(1+\delta)^{1+\delta}}\right)^\mu
\end{split}$$

 위 식을 통해 체르노프 유계의 한쪽 끝부분인 상한을 증명하였습니다. 하한 또한 위의 식으로 갈음할 수 있으므로 주어진 체르노프 유계의 정의는 증명되었음을 확인하였습니다. 

응용

  지금까지 체르노프 유계의 정의와 증명과정을 살펴보았습니다. 이번에는 체르노프 유계가 어떻게 적용될 수 있는지 살펴보도록 하겠습니다.

 아래의 그림은 하나의 집단에서 야구와 축구를 좋아하는 사람들을 나타낸 것입니다.

 위 집단에서 좋아하는 운동에 대해 물어보았을 때 축구를 좋아할 확률을 \(p\)라고 하였을 때, 몇명이 축구를 좋아할까요?

 그림상으로는 총 인원수가 적기 때문에 금방 알아낼 수 있지만 만약 1만명 이상의 인원을 대상으로 한 사람씩 물어보는 것은 상당히 많은 시간이 소요되기 때문에 사실상 불가능합니다.

 최대한 균등하고 독립적으로 임의의 표본으로 n명을 뽑은 다음 \(X=\widetilde{p}n\)으로 계산하여 축구를 좋아하는 인원수를 구할 수 있을 것입니다. 즉, \(\widetilde{p}=\frac{X}{n}\)을 통해 확률 \(p\)를 예측할 수 있을 것으로 기대됩니다.

 X가 이항 랜덤 변수로 n회의 베르누이 수행을 하였고 성공확률이 p라고 예상하였을 때 모집단이 표본집단의 크기 n보다 충분히 클 때 다음이 성립됨을 알 수 있습니다.

$$E[X]=np$$

 다음과 같이 분포에서 평균 np의 위치를 쉽게 알 수 있습니다. 그렇다면 우리가 예상한 \(p\)가 실제 확률 \(\tilde{p}\)에 얼마나 근접한지 알 수 있을까요?

 \(p\)의 신뢰구간 \(1-\gamma\)을 \([\widetilde{p}-\delta,\tilde{p}+\delta]\)라 하였을 때 \(\gamma>0,\:\delta>0\)의 조건에서 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$P(p\in[\tilde{p}-\delta,\tilde{p}+\delta])\geq1-\gamma$$

즉 위의 식을 \(\gamma\)에 대해 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

$$P(p<\tilde{p}-\delta)+P(p>\tilde{p}+\delta)<\gamma$$

 이번에는 위에서 정의한 \(\gamma\)값에 대해 알아보도록 하겠습니다. 먼저 하한 구간에 대해 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$\begin{split}
P(p<\tilde{p}-\delta) &= P(\tilde{p}>p+\delta)\\
&= P(X>n(p+\delta)) \\
&= P(X>E[X](1+\frac{\delta}{p}))\\
&< e^{-\frac{np(\frac{\delta}{p})^2}{3}}\\
&= e^{-\frac{n\delta^2}{3p}}\\
&\leq e^{-\frac{n\delta^2}{3}}
\end{split}$$

 다음으로 상한 구간에 대해 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\begin{split}
P(p>\tilde{p}+\delta) &= P(\tilde{p}<p-\delta)\\
&= P(X<n(p-\delta)) \\
&= P(X<E[X](1-\frac{\delta}{p}))\\
&< e^{-\frac{np(\frac{\delta}{p})^2}{2}}\\
&= e^{-\frac{n\delta^2}{2p}}\\
&\leq e^{-\frac{n\delta^2}{2}}
\end{split}

 위의 식을 통해 우리는 \(\gamma\)값을 다음과 같이 알아낼 수 있습니다.

$$\gamma=e^{-\frac{n\delta^2}{2}}+e^{-\frac{n\delta^2}{3}}$$

 위의 식을 보았을 때 갑자기 자연상수 e의 지수의 분모가 뜬금없이 2 혹은 3이 되어있는 것을 확인하실 수 있습니다. 앞에서 말씀드렸듯이 \(\delta\)는 매우 작은 값이고 위의 부등식을 통해 2 혹은 3을 대입하였을 때 \(\gamma\)의 값이 약간 넓어지면서 예측값 p의 범위가 더욱 타이트해졌음을 보실 수 있습니다. 즉, 편의상 간단하게 2 혹은 3을 대입하여 범위를 한정시킬 수 있어 2 혹은 3으로 대체해도 무방하다는 의미입니다.

 즉, 예측값 p를 구하기 위해 우리는 \(\gamma\), \(\delta\)와 n의 값을 조절함으로서 신뢰구간을 조정하여 범위를 한정함으로서 궁극적인 목표인 평균의 특정 구간을 한정함으로서 원하는 결과를 얻을 수 있음을 확인할 수 있습니다. 

 github에서 자료를 가져오려 하는 도중 다음과 같은 오류를 맞닥트리게 되었습니다.

ERROR: cannot verify github.com's certificate
Self-signed certificate encountered.
To connect to github..com insecurely, use `--no-check-certificate'.

 이 경우는 주로 프록시 보안이 되어있는 네트워크 환경에서 종종 발생하는 경우로서 이는 아래와 같이 증명서를 확인하는 과정을 생략하도록 설정해주시면 되겠습니다. 

    $ echo "check_certificate = off" >> ~/.wgetrc

 위와 같이 wgetrc를 설정한 이후 wget를 실행하면 다운로드가 제대로 진행됨을 확인하실 수 있습니다.

 Windows10에 Ubuntu 20.04 버전을 설치하고 이것 저것 기능들을 다루는 과정에서 다음과 같은 명령어를 접하게 되는 경험을 하였습니다.

qt.qpa.xcb: could not connect to display
qt.qpa.plugin: Could not load the Qt platform plugin "xcb" in "" even though it was found.
This application failed to start because no Qt platform plugin could be initialized. Reinstalling the application may fix this problem.

혹은

Error: Can't open display: :0.0

 WSL에 설치된 Ubuntu는 서버컴퓨터에 설치되는 GUI 개념이 없는 버전과 같다고 보시면 됩니다. 단지 CLI(Command-Line Interface) 즉, MS-DOS에서 처럼 명령어를 한 줄 씩 입력해서 처리하는 방식대로 진행된다고 생각하시면 되겠습니다.

 흔히 Windows처럼 GUI환경이 제공되는 Ubuntu를 주로 접하셨던 분들께는 Windows10 환경에서 사용하게 되셨을때 마치 Ubuntu 데스크탑버전에서 처럼 Terminal을 켜고 사용하던 습관이 있어 위와 같은 에러가 발생하였을 때 상당히 당황하실거라고 생각됩니다.

 해결방법은 매우 간단합니다. Windows10에서도 Ubuntu의 GUI 기능이 동작할 수 있도록 해주는 X11 지원 프로그램을 설치해줌으로서 해결할 수 있습니다. 

 이를 Windows에서 지원해줄 수 있는 프로그램으로 Xming이 있습니다. Xming 설치 프로그램은 아래의 사이트를 통해 다운받으신 다음 설치하실 수 있습니다.

https://sourceforge.net/projects/xming/

 만약 자신의 WSL에 X11 관련 패키지가 설치되셨다면 바로 화면을 불러오실 수 있습니다. 만약 Xming을 설치하고 나서도 화면에 창이 나타나지 않으시는 분들께서는 아래의 사이트를 참조하시길 바랍니다.

www.tuwlab.com/ece/29485

 동해선이 복선전철화됨에 따라 불과 몇년전만 해도 변하지 않을것만 같았던 모습들이 지금은 정말 많은 모습들이 변하였습니다. 부산 시내의 이설을 시작으로 어느샌가 울산 구간도 많은 변화가 있었고, 부산까지 전동열차를 타고 이동할 수 있을 날이 정말로 얼마 남지 않았습니다.

 이러한 변화속에서도 지난 85년동안 변치 않고 그 자리를 지켜오던 남창역이 있습니다. 오늘을 마지막으로 그간의 역할을 수행하고 2020년 8월 31일부로 새로운 역사가 그 역할을 이어가게 됩니다. 다행히도 85년의 역사를 인정받아 근대문화유산으로 그 자리에서 계속 우리들을 맞이할 것입니다.

 이렇게 지난 85년동안 수많은 승객을 맞이하고 보내던 남창역은 오늘로서 그 역할을 마지막으로 수행하고 영원히 지금의 모습으로 우리를 맞이할 것입니다. 과연 10년 후 사람들은 저 조그마한 간이역에서 사람들이 열차를 타고 내렸다는 것이 가능하다는 이야기를 할 날이 올까요?

 중앙선 열차를 타고 경주 방향으로 가다보면 서경주역은 희안하게도 열차가 가는 방향을 정면으로 하여 역명판이 달려있는 희안한 역입니다. 경주를 지날때마다 보았던 서경주역을 이번에는 직접 찾아가 보았습니다.

 이제 2년후 현재 KTX가 다니는 선로쪽에 새로운 역이 건설되고 있습니다. 과연 그때 즈음 서경주역은 어떻게 변해있을까요?