Borel set(보렐 집합)

 Borel set(보렐 집합)에 대해 자세히 알기 위해서는 σ-algebra(시그마 대수)에 대한 개념을 정확히 알아야 할 필요가 있습니다. σ-algebra(시그마 대수)에 대한 내용은 아래 글을 참고해 주시길 바랍니다.

http://elecs.tistory.com/253

 Open set을 포함한 실수 R의 부분집합의 모든 σ-algebra(시그마 대수)의 교집합을 Borel σ-algebra라 합니다. 그리고 이러한 Borel σ-algebra를 모은 집합을 Borel set(보렐 집합)이라 합니다. Borel σ-algebra는 전체 Open set을 포함하는 모든 σ-algebra를 포함하고 있습니다. 즉 Boral set은 가산집합(measurable)이라 할 수 있습니다.

Theorem. The collection M of measurable sets is a σ-algebra that contains the σ-algebra B of Borel sets. Each interval, each open set, each closed set, each set, and each set is measurable

이때 는 Open sets의 countable collection의 교집합이고, 는 Closed sets의 countable collection의 합집합이다.

참고 문헌 :  H.L. Royden, 2010, 『Real Analysis』, 4th edition.